PROBABILITES. Nombre d'heures: 48

Connaissances pré-requises: Théorie des ensembles, séries numériques, intégrales simples et généralisées, dérivées partielles, manipulation des matrices.

Chapitre I. Combinatoire

Il s'agit de faire un rappel des techniques d'analyse combinatoire qui seront utilisées tout au long de ce cours.

  1. Principe fondamental de l'analyse combinatoire (principe de multiplication)
  2. Combinaison de n par k
  3. Permutation
  4. Arrangement de n par k
  5. Partition en groupes, permutation avec répétition - coefficients polynomiaux - formule polynomiale
  6. Combinaison avec répétition
  7. Distribution des particules dans le domaine de l'espace - modèle de Maxwel-Bolzmen et modèle de Boze-Enstein.

Chapitre II. Le modèle probabiliste

On présente le contexte de ce cours, on définit les bases.

  1. Expérience aléatoire et événements
  2. Algèbre des événements
  3. Espace probabilisé (axiomatique de Kolmogorov, propriétés élémentaires)
  4. Probabilité conditionnelle et indépendance - Formules de Bayes

Chapitre III. Variables aléatoires

  1. Définition, fonction de répartition et densité
  2. Fonction d'une variable aléatoire discrète
  3. Fonction d'une variable aléatoire continue (si Y=H(X), H bijective, alors ... )
  4. Indépendance de deux variables aléatoires - Condition d'indépendance
  5. Moments d'une variables aléatoires (espérance, espérance de Y=H(X), espérance d'un produit, variance, approximation de E[H(X)] et de V[H(X)] ).

Chapitre IV. Lois de probabilité discrètes usuelles

On explique dans quel type d'expérience et de contexte chaque loi est utilisée usuellement, et on donne pour chaque loi l'expression de sa loi de probabilité, de son espérance et de sa variance.

  1. Loi discrète uniforme
  2. Loi de Bernoulli
  3. Loi Binomiale
  4. Loi de Poisson - approximation d'une loi binomiale
  5. Loi Hypergéométrique - Tendance vers la loi binomiale
  6. Masse de Dirac

Chapitre V. Lois de probabilité continues usuelles

On apprendra à utiliser les tables de probabilité

  1. Loi uniforme sur [a,b]
  2. Loi exponentielle
  3. Loi Gamma
  4. Lois Bêta
  5. Loi de l'arc sinus
  6. Loi de Laplace-Gauss
  7. Loi Log-Normale
  8. Loi de Cauchy
  9. Loi de Veibull
  10. Loi de Gumbel
  11. Loi triangulaire
  12. Loi de Laplace.

Chapitre VI. Somme de deux variables aléatoires

Théorème des probabilités totales, convolution.

  1. Cas discret.
  2. Cas continu

Chapitre VII. Fonctions cacactéristiques

  1. Définition et propriétés (Fonction caractéristique d'une forme linéaire, convolution, dérivées à l'origine et moments, unicité et inversion de la fonction caractéristique)
  2. Fonctions caractéristiques des lois usuelles.

Chapitre VIII. Convergence de suites de variables aléatoires

  1. Types de convergence (Convergence en probabilité, convergence presque sûre, convergence en moyenne d'ordre p, convergence en loi, théorème de Levy-Cramer-Dugué)
  2. Convergence en loi d'une suite de variables aléatoires binomiales vers la loi Normale
  3. Convergence en loi d'une suite de variables aléatoires de Poisson vers la loi Normale
  4. Somme de variables aléatoires et théorème de la limite centrale.

Chapitre IX. Couples de variables aléatoires

  1. Lois associées à un couple (X,Y) (Loi jointe, lois marginales, lois conditionnelles)
  2. Espérance conditionnelle - Théorème de l'espérance totale
  3. Variance conditionnelle - Théorème de la variance totale
  4. Corrélation de deux variables aléatoires (coefficient de corrélation linéaire, coefficient de corrélation fonctionnelle)

Chapitre X. Vecteurs aléatoires et formes quadratiques

  1. Fonction de répartition et densité d'un vecteur aléatoire
  2. Fonction caractéristique et indépendance des composantes du vecteur
  3. Espérance et matrice de variances-covariances
  4. Loi d'une variable aléatoire Y=H(X) (Théorème de changement de variable multidimensionnelle, cas où H est un difféomorphisme, cas où H n'est pas un difféomorphisme, méthode de la fonction de répartition pour l'étude des lois min(X) et max(X) )
  5. Vecteurs aléatoires Gaussiens (Loi multinormale, fonction caractéristique, indépendance des composantes du vecteur, loi binormale, lois conditionnelles, théorème central-limite multidimensionnel)
  6. Lois du Chi-Deux
    (Définition, densité, approximation par la loi Normale)
  7. Formes quadratiques
    (Si Y est un vecteur Gaussien, étude de la loi de Q=tYAY
  8. Loi de Fisher-Snedecor et loi de Student.

Les balles tombantes formeront une surface de Gauss...Allez savoir pourquoi !!!! ....

(c)

www.facultedegenie.net= Site indépendant pour la Faculté de Génie, Université Libanaise.