LES BASES DE L'ANALYSE © al-Houjairi & Ziade' (p.1). FACULTE DE GENIE, Liban. Faculty of Engineering, Lebanon. ingénieur, Faculté de Génie, Universite Libanaise

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Avant Propos du Livre
"LES BASES DE L'ANALYSE, Corps R, Suites Numériques"
© Dr M. al-Houjairi & Dr M. Ziade'

Cet ouvrage est le premier d'une série destinée aux Elèves ingénieurs (Faculté de Génie) et aux Etudiants de la Faculté des Sciences. Toutefois sa lecture ne supposant presque aucune connaissance approfondie préalable il s'adresse aussi à tous ceux qui ont le désir d'approfondir leurs connaissances en mathématiques, notamment aux Enseignants du cycle secondaire scolaire. En effet, d'un point de vue formel, notre livre n'exige que les connaissances du cours secondaire de mathématiques.

L'ouvrage tire une partie considérable de sa substance de nos enseignements, d'autre part son contenu intègre des questions importantes ne figurant pas aux programmes usuels et nous pensons que les questions mentionnées sont de grande utilité pour les étudiants scientifiques.

Plusieurs questions peuvent apparaître chez les Elèves du secondaire et les Etudiants du premier cycle en ce qui concerne la nature et les propriétés des nombres réels. Par exemple, on peut se poser les questions suivantes:
- Pourquoi le nombre zéro n'est pas inversible?
- Pourquoi le nombre unité est-il positif?
- Quelle différence existe-t-il entre les nombres algébriques et transcendants, entre les nombres rationnels et irrationnels?
- Etc.

Dans le Premier Chapitre de cet ouvrage, l'exposé commence systématiquement par la théorie axiomatique hilbertienne des nombres réels. A notre avis la construction axiomatique hilbertienne directe du corps R est capable:

1) de développer chez les Etudiants la possibilité de manipuler un nouvel objet mathématique abstrait, rapidement introduit (relativement aux autres théories connues, où la construction axiomatique passe à travers N, Z et Q) et ayant un modèle (réalisation) concret bien étudié depuis le cours scolaire de mathématiques (concept scolaire intuitif des nombres réels avec leur représentation décimale).

2) de donner aux Etudiants une représentation simple sur la problématique contemporaine qui touche les bases des mathématiques (problèmes de non-contradiction de la théorie axiomatique, de complétude et d'unicité des objets mathématiques), tout en respectant les limites chronologiques du programme.

3) de donner aux Etudiants la possibilité de faire une comparaison entre la théorie axiomatique des nombres réels et la "théorie intuitive" scolaire de ces nombres.

4) de faire appréhender aux Etudiants la différence entre les objets mathématiques continus et les objets mathématiques discrets, d'une manière formelle indépendamment de la représentation géométrique intuitive. Tout en exposant les concepts simples d'une nouvelle discipline mathématique qui est la topologie de la droite numérique.

En plus de la partie théorique du Premier Chapitre:

a) Nous donnerons aux Etudiants un grand nombre d'exercices et de problèmes résolus, qui concernent les différents aspects théoriques et calculatoires du corps R et de ses propriétés, pour développer chez eux les possibilités théoriques et techniques. Parmi les exercices donnés, nous avons des exercices exotiques et parfois non élémentaires!

b) Nous proposerons au "Lecteur / Chercheur" un grand nombre d'exercices et de problèmes non résolus (en plus des exercices résolus) pour l'inciter au travail individuel et pour lui permettre de faire une évaluation personnelle. Nous considérons que ces exercices proposés sont dignes d'être examinés par les Etudiants forts et les Lecteurs / Chercheurs.

Le Deuxième Chapitre est consacré à l'étude des suites numériques réelles. Il contient une partie théorique bien détaillée, où presque tous les théorèmes et propositions possèdent des démonstrations.

En plus de la partie théorique dans le Deuxième Chapitre:

a) Nous donnerons aux étudiants un grand nombre d'exercices et de problèmes résolus concernant les différentes questions et variétés de suites numériques réelles, afin de développer chez eux leurs capacités théoriques et pratiques. Parmi les exercices qui sont donnés, nous avons certains exercices exotiques et parfois non élémentaires! Beaucoup de résultats théoriques et de théorèmes sont traités comme exercices avec solutions détaillées.

b) Nous proposerons aussi au lecteur / chercheur un grand nombre d'exercices et de problèmes non résolus (après les exercices résolus), pour lui permettre de faire une évaluation personnelle.

Nous avons essayé de présenter un ouvrage utile, aussi bien pour l'Etudiant en Mathématiques ou en Sciences, que pour l'Elève ingénieur, et pour l'Enseignant à l'Ecole. Nous souhaitons la réussite à tous nos lecteurs, et à bientôt! ...

- TABLE DES MATIERES DU LIVRE "LES BASES DE L'ANALYSE"

- Alphabet Grec

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