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Transformée de Fourier (T.F.) temporelle
(c) Dr Mustapha ZIADE'

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[1] T.F. COMPLEXE

F(w) = TF f(t) = ¦ f(t).exp(–jwt).dt
{ intégrale de t = –infini à +infini }
{ Rappels: w = 2.pi.fréquence, j² = –1}
Attention^: ¦ n'est pas une notation officielle, je l'utilise à cause de l'ordinateur.

F(w) = spectre de f(t).

Remarque: TF[TF f(t)] = f(–t)

T.F. inverse ou réciproque:

f(t) = TF^–1 F(w) = ¦ F(w).exp(jwt).dw/(2.pi)
{ intégrale de w = –infini à +infini }

Si on prend une constante de normalisation adaptée { 1/(2.pi)^½ }
alors TF^–1 == TF.

[ Fonction temporelle quelconque f(t) ] ---TF---> [ fonction fréquencielle complexe F(w) ]

La Transformée de Fourier complexe est une "bijection".

1.a) Linéarité

a.f(t) + b.g(t) ---TF---> a.F(w) + b.G(w)

1.b) Translation ou Décalage

f(t–t₀) ---TF---> exp(–j.w.t₀).F(w)

Donc une translation temporelle donne simplement un déphasage fréquenciel: exp(–jwt₀).
En effet: f(t–t₀) = f(t) * d(t–t₀)
{ * est le produit de convolution, d(t) la distribution de Dirac, voir §2a}

1.c) Similitude ou Dilatation

f(a.t) ---TF---> F(w/a) / |a|
{ a = constante complexe }

Donc une dilatation temporelle donne une contraction fréquencielle (et modif. d'amplitude)

1.d) Transposition et Conjugaison

f(–t) ---TF---> F(–w)

f*(t) ---TF---> F*(–w)

f*(–t) ---TF---> F*(w)

Si f(t) réelle paire alors F(w) réelle paire.

Si f(t) réelle impaire alors F(w) imaginaire impaire.

Si f(t) imaginaire paire alors F(w) imaginaire paire.

1.e) TF des dérivées

f'(t) = df/dt ---TF---> j.w.F(w)

f''(t) = d²f/dt² ---TF---> –w².F(w)

dⁿf(t) / dtⁿ ---TF---> [j.w]ⁿ.F(w)

[–j.t]ⁿ.f(t) ---TF---> dⁿF(w) / dwⁿ

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[2] PRODUIT de CONVOLUTION et de CORRELATION

2.a) Produit de Convolution

f(t)*g(t) = ¦ f(t₁).g(t–t₁).dt₁
{ intégrale de t₁= –infini à +infini }
= surface sous la courbe obtenue en faisant le produit de f(t₁) par g(t–t₁)
{ g(t) décalée de t₁ }

– Le produit de convolution est commutatif, associatif et distributif par rapport à l'addition.

– Pour translater un produit de convolution il suffit de translater un de ses facteurs:
f(t–t₀)*g(t) = f(t)*g(t–t₀).

– L'élément neutre du produit de convolution est d(t)
{ car: f(t) = f(t) * d(t) = d(t) * f(t) }
{ d(t) = distribution de Dirac , voir §3e }

– Constante: f(t) * 1 = F(0)
{ Rappel: F(w) est la T.F. de f(t) }

– Décalage: f(t–t₀) = f(t) * d(t–t₀)
{ d(t–t₀) est la distribution de Dirac centrée sur t₀ }

• A propos de d(t) et d(t–t₀) :

d(t) = ¦exp(j.w.t).dw/(2p)
d(w) = ¦exp(–j.w.t).dt
{ intégrales de –infini à +infini }

d(t–t₀) = exp(–j.w.t₀).d(t)
d(w–w₀) = exp(j.w.t₀).d(w)

¦f(t).d(t).dt = f(0)
¦f(t).d(t–t₀).dt = f(t₀)
{ intégrales de –infini à +infini }

2.b) T.F. d'un Produit, T.F. d'un Produit de Convolution

f(t) . g(t) ---TF---> F(w) * G(w)

f(t) * g(t) ---TF---> F(w) . G(w)

2.c) Produit de Corrélation

f(t) x g(t) ---TF---> F(w) * G*(w)

c_fg(t) = f(t) x g(t) = f(t) * g*(–t) = ¦ f(t₁).g*(t₁–t).dt₁ = ¦ g*(t₁).f(t₁+t).dt₁
{ intégrale de t₁= –infini à +infini }

(!) Le produit de corrélation n'est pas commutatif: c_gf(t) = [c_fg(–t)]*

2.d) Auto-corrélation

c(t) = c_ff(t) = f(t) x f(t) = f(t) * f*(–t)

f(t) * f*(–t) ---TF---> F(w).F*(w) = |F(w)|²

2.e) Relation de Parseval–Plancherel (conservation de l'énergie)

¦ |f(t)|².dt = ¦ |F(w)|².dw/(2.p)
{ les 2 intégrales vont de –infini à +infini }

2.f) Relation de somme

S[f( t + n.T )] = S[F( n.w₀ ).exp( j.n.w₀.t )]
avec w₀ = 2.p/T
{ et S = sommes pour n entier relatif allant de –infini à +infini }

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[3] TRANSFORMEES USUELLES

3.a) Distribution "Porte" ou distribution rectangle ou distribution fente

P(Dt) ---TF---> 2.Dt.sinc(w.Dt)

avec P(Dt)=0 , sauf pour [–Dt,+Dt] alors P(Dt)=1
{ donc P(Dt) est binaire de largeur 2.Dt }

sinc(z) = sinus cardinal = sin(z)/z
{ rappels: sinc(0)=1=maximum=100%, |autres extremums|<20%, racines=k.p }

Donc:
[ une porte de largeur Dt ] ---TF---> [ sinc de "largeur" {en fréq.} ~ 1/Dt ]

3.b) Morceau de fonction c.à.d. une fonction nulle sauf dans un intervalle [–Dt,+Dt]

f(t).P(Dt) ---TF---> F(w) * sinc(w.Dt) { voir aussi §4 }

3.c) Distribution "Lambda" ou distribution triangle

L(Dt) ---TF---> (2.Dt)².sinc²(w.Dt)

avec L(Dt)=0 , sauf pour [–Dt, Dt] alors L(Dt)=1–|t|/Dt
{ L(Dt) est de largeur 2.Dt }

{ rappels: sinc²(z) = [sin(z)/z]² , sinc²(0)=1=maximum=100%, |autres maximums|<5% }

3.d) Gaussienne

exp[ –(t/Dt)² ] ---TF---> pi^½.Dt.exp[ –(w.(Dt)/2)² ]

Donc: [ gaussienne de "largeur" Dt ] ---TF---> [ gaussienne de "largeur" {en fréq.} 2/Dt ]

3.e) Distribution de Dirac

d(t) ---TF---> 1
avec d(t)=0, sauf pour t=0 alors d(t)=+infini tel que ¦d(t).dt = 1
{ c.à.d. la "surface" sous d(t) est normée }

d(t–t₀) ---TF---> exp(j.w.t₀)

3.f) Peigne de Dirac

S[d( t + n.T )] ---TF---> (1/T).S[d(w+n.w₀)] avec w₀=2.pi/T.
{ avec S = sommes pour n entier relatif allant de –infini à +infini }

Donc: [ peigne de pas ou période T ] ---TF---> [ peigne {en fréq.} de pas: w₀=2.pi/T ]

3.g) Distribution signe

sgn(t) ---TF---> 2/(j.w)

2/(pi.t) ---TF---> sgn(w)

{ Rappel: sgn(t<0)=–1 , sgn(t=0)=0 , sgn(t>0)=+1 }

3.h) Distribution de Heaviside (distribution échelon unité) H(t<0)=0 , H(t>0)=1.

H(t) ---TF---> [ d(w) + 2/(j.w) ] / 2

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[4] TRANSFORMEES PRATIQUES

f(t) ---TF---> F(w)

F(t) ---TF---> 2.pi.f(–w)

exp(j.w₀.t) ---TF---> d(w–w₀)

f(t).exp(j.w₀.t) ---TF---> F(w–w₀)

cos(w₀.t) ---TF---> [ d(w–w₀) + d(w+w₀) ] / 2

sin(w₀.t) ---TF---> [ d(w–w₀) – d(w+w₀) ] / (2j)

f(t).cos(w₀.t) ---TF---> [ F(w–w₀) + F(w+w₀) ] / 2

f(t).sin(w₀.t) ---TF---> [ F(w–w₀) – F(w+w₀) ] / (2j)

.

Morceaux de fonctions {revoir §.3.b}

P(Dt).cos(w₀.t) ---TF---> ( sinc[(w–w₀).Dt] + sinc[(w+w₀).Dt] ).Dt

P(Dt).sin(w₀.t) ---TF---> ( sinc[(w–w₀).Dt] – sinc[(w+w₀).Dt] ).Dt/j

.

exp(–a.|t| ) ---TF---> 2a / ( a² + w² ) { =Lorenzienne }

exp(–a.t).H(t) ---TF---> 1 / ( a + j.w ) { H(t<0)=0, voir §3h }

.

Fonctions de Bessel { w dans ]–1;1[ }

J₀(t) ---TF---> 2 / (1–w² )^½

J₁(t) ---TF---> –2.j.w / (1–w² )^½ { w dans ]–1;1[ }

J₁(t) / (2.t) ---TF---> (1–w² )^½ { w dans ]–1;1[ }

.

¦ f(t₁).g(t–t₁).dt₁ ---TF---> F(w).G(w) { intégrales de t= –¥ à +¥ }

¦ f(t+t₁).f*(t₁).dt₁ ---TF---> | F(w) |²

A_n = ¦ tⁿ.f(t).dt ---TF---> S (–j.w)ⁿ.A_n / n! { n entier positif }

{ intégrale de t = –infini à +infini }

Rappel : j² = –1.

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